"soal dan jawaban pertidak samaan kuadrat"

 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² – 5x + 6 > 0!
Penyelesaian Soal:

Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X – 3) > 0

Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka:

x -2>0 dan x-3>0

↔x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3

(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:

x -2<0 dan x-3<0

↔x<2 dan x<3, sehingga diperoleh: x<3

Jadi, penyelesaian persamaan diatas adalah: {x € R| x <2 atau x>3}

Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.



Contoh :

2x - 3 > 5  2x > 5 + 3 ijgeiirjirijrigir j 2x > 8 gehghhejehh2x  > 2

Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.
Penyelesaian:

• Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
  (Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan  atau sebaliknya).
• Kuadratkan kedua ruasnya.
  (tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
• Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)
  syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (0)...(2)
            (pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)
• Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.

Contoh:

1. (x-2) < 2                kuadratkan                   x - 2 < 4                        x < 6                syarat :                   x - 2  0                   x  2 2  x < 6

2.(-x + 3) - (2x + 1) > 0 seimbangkan (-x+3) > (2x+1)  kuadratkan     -x + 3 > 2x + 1     3x < 2     x < 2/3  syarat :     -x + 3  0  x  3     dan 2x + 1  0 x  -1/2 -1/2  x < 2/3

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a  0.
Penyelesaian:

• Jadikan ruas kanan = 0
• Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
• Tetapkan nilai-nilai nolnya
• Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
  (bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
  bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).

contoh:

x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0

x < -2 atau x > 1

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.
Penyelesaian:

• Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
  (ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
• Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
• Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan  0

contoh :

-8  x <1

(2x + 7)/(x - 1)  1
(2x + 7)/(x - 1) - 1  0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1)  0  (x + 8)/(x - 1)  0
syarat : penyebut (x-1)  0
                               x  1

Penyelesaian:

• Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang definit (selalu) bernilai positif ( D < 0 ; a > 0) langsung dapat dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.
  Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.
• Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol yang rangkap genap.

contoh:

1. (x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0
   (x -1/2) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0
   
   
   x < 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x < 4
2. (3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0
   Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
   D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3
   D < 0 dan a > 0
   Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi
   
   (+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0

X < -6 atau X > 2

Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak.

Batasan : |x| = x    jika x > 0
                      0    jika x = 0
                     -x    jika x < 0          keterangan : |x|  0     

masalah : menghilangkan tanda mutlak.



Penyelesaian:

Untuk a > 0

xa  -a < x < a

x > a  x < -a atau x > a

xa  x = a

secara umum:
menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas
atau
|x| < a  x² < a²  x² - a² < 0  (x-a)(x+a) < 0  -a < x < a
|x| > a  x² > a²  x² - a² > 0  (x-a)(x+a) > 0  x<-a atau x>a
keterangan:
|x| < -a TM
|x| > -a x

|a/b| < c |a| < c|b|

II. Pertidaksamaan Kuadrat
4) (x – 3) (x + 2) > 0
Penyelesaian :
(x – 3) (x + 2) = 0 dengan sifat perkalian nol
X – 3 = 0 atau x + 2 = 0
x1 = 3 x2 = - 2

5) 9x2 – 2 ≤ - 3x
Penyelesaian :
9x2 – 2 ≤ - 3x
9x2 – 2 = - 3x
9x2 + 3x – 2 = 0 dengan memfaktorkan
(3x – 1) (3x + 2) = 0
3x – 1 = 0 atau 3x + 2 = 0
3x = 1 3x = -2
x1 = 1/3 x2 = -2/3

Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari

            3x > 7x –12

 3x > 7x -12

                                                à          3x – 7x > -12

                                                à          -4x > -12

                                                à          x < -12/-4

                                                à          x < 3

Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari

            5(x  +  5) ≤ 3x – 15 < 6x

5(x + 5) ≤ 3x – 15 < 6x

5x + 25 ≤ 3x – 15                 

5x – 3x ≤ -15 - 25                 

2x ≤ -40                                 

x ≤ -20                                               

•

3x – 15 < 6x

3x – 6x < 15

- 3x < 15

x > -5

Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari

            2x2 + 10x > 3x -3

2x2 + 10x > 3x -3

                                               

                          2x2 + 10x – 3x +3 > 0

                          2x2 + 7x +3 > 0

                                                à  ( x + 3)(2x + 1) = 0

                                                à x = -3  atau x = -1/2

                                        +                       -                      +

                                                      -3                      -1/2

Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari

            5(x  +  5) ≤ 3x – 15 < 6x

•

5(x + 5) ≤ 3x – 15 < 6x

5x + 25 ≤ 3x – 15                 

5x – 3x ≤ -15 - 25                 

2x ≤ -40                                 

x ≤ -20                       

                       

3x – 15 < 6x

                        3x – 6x < 15

                        - 3x < 15

                        x > -5

            Besar biaya sewa sebuah bis dengan 40 tempat duduk  Rp 5.000.000. Bila biaya yang dipungut panitia Rp 200.000/ peserta. Dan panitia ingin memperoleh keuntungan minimal Rp 2.000.000. Berapa batas  perserta yang harus ikut?

•

           

banyak peserta : x orang

            x tidak boleh lebih dari 40 orang à x ≤ 40

            200.000x - 5.000.000 ≥ 2.000.000

            200.000x          ≥ 2.000.000 + 5.000.000

            x                                    ≥ 7.000.000/200.000

            x                                    ≥ 35

                                    HP :  {35 ≤ x ≤ 40}

•

Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari

            100 > 9x2

Jawab :

                        100 > 9x2

                        9x2 < 100

                         x2 < 100/9 à x2 = 100/9  à x2 =    100/9

                                                     x   = ±10/3

                                                            +            -            +

                                                         -10/3                  10/3

Contoh Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x² - 5x - 3 = 0

          Jawab : menggunakan pemfaktoran

2x² - 5x -3 = 0

   (2x + 1) (x - 3) = 0

   2x +1 = 0  atau x – 3 = 0

   x = -1/2  atau x = 3

           Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah { -1/2 , 3 } 

1. Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu:

1.

2.

3.

4.

           

dengan a, b, c bilangan real dan

           

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:

1. Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus  grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan . Sketsa grafik parabola  diperlihatkan pada gambar berikut:

1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.

            Jadi  dalam selang x < -1 atau x > 4.

2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.

            Jadi  untuk nilai x = -1 atau x = 4.

3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4.

            Jadi  dalam selang – 1 < x < 4.

Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat  atau parabola  dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.

a.    Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:

b.    Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:

c.    Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:

d.    Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:

Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat  dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ; ; ;

Contoh:

Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat  carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.

a.

b.

c.

d.

Jawab:

Sketsa grafik fungsi kuadrat  atau parabola  diperlihatkan pada gambar berikut:

a.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat   adalah Himpunan kosong ditulis

b.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat   adalah 

c.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat   adalah

d.    Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat   adalah  dapat juga ditulis

2. Dengan garis bilangan

Sebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan

                        Langkah 1

                        Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan

                       

                       

                       

                         atau

                        Langkah 2

Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.

Misalnya:

 maka nilai dari  sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0

 maka nilai dari  sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4  (1) atau < 0

 maka nilai dari  sehingga tanda dalam interval x > 4 (+) atau > 0

                       

Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan  adalah x < -1 atau x > 4.

Jadi himpunan penyelesainnya adalah  atau x > 4}

Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.

i.

ii.

iii.

iv.

Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian pertidaksamaan rasional

dapat ditentukan dengan langkah-langkah sbb.

Langkah 1

            Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0à x = -1. Nilai nol pada bagian penyebut: x – 3 = 0 à x = 3.

Langkah 2

            Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan.

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3.

Misal  x = -2 maka nilai dari  sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0.

x = 0, maka nilai  dari  sehingga tanda dalam interval -1<x<3 (-) atau < 0.

x = 4, maka nilai  dari  sehingga tanda dalam interval –x > 3  (+) atau > 0.

Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar sbb.

Maka penyelesaian dari pertidaksamaan  adalah -1 < x < 3 dan himpunan penyelesaiannya adalah

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari  !

Jawab :

Harga nol pembilang                                  Harga nol penyebut

                                                      

                                                    

                                                 Jadi penyelesaiannya adalah -2<x<0     

                                                                        atau x > 1

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari

Jawab:

Harga nol pada pembilang

 atau

Harga nol penyebut

 atau x =2

Jadi himpunan penyelesaian dari  adalah  atau  atau x >3}

2. Pertidaksamaan Kuadrat

Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC = x+4 cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !

Jawab :         

                       

  A

                                               

                                                x+4

                        x

                                    B         x+2                C

           

                       

                       

                       

                       

                         atau  (tidak memenuhi)

            Diperoleh x=6, maka AB=6 cm, BC=8 cm, dan AC= 10 cm

Contoh

4) (x – 3) (x + 2) > 0
Penyelesaian :
(x – 3) (x + 2) = 0 dengan sifat perkalian nol
X – 3 = 0 atau x + 2 = 0
x1 = 3 x2 = - 2

5) 9x2 – 2 ≤ - 3x
Penyelesaian :
9x2 – 2 ≤ - 3x
9x2 – 2 = - 3x
9x2 + 3x – 2 = 0 dengan memfaktorkan
(3x – 1) (3x + 2) = 0
3x – 1 = 0 atau 3x + 2 = 0
3x = 1 3x = -2
x1 = 1/3 x2 = -2/3

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  – 3x – 10 > 0.
Jawab :
– 3x – 10 > 0 atau
y =  – 3x – 10
(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas,memotong sumbu X jika y = 0, maka
– 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2
Jadi parabola memotong sumbu X
di (-2 , 0) dan (5 , 0)
Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik
pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah:
x < -2
x > 5
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah :
{ x / x < -2 atau x > 5 }
Daerah himpunan penyelesaian HP = { x / x < -2 atau x > 5 }

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan – 2x – 3= 0.
Jawab :
– 2x – 3= 0 atau
y = – 2x – 3
(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas, memotong sumbu X jika y = 0, maka
– 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x = -1
Jadi parabola memotong sumbu x di (-1 , 0) dan (3 , 0)
X(-1,3)
Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada
bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X adalah: -1= x= 3
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah : { x / -1= x= 3 }
Daerah himpunan penyelesaian
HP = {x / -1= x= 3}

Contoh Pertidaksamaan Kuadrat
Contoh Soal 3
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² – 5x + 6 > 0!
Penyelesaian Soal:
Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X – 3) > 0
Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,
(i). Jika ke dua faktor positif maka: x -2>0 dan x-3>0,x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3
(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka: x -2<0 dan x-3<0, x<2 dan x<3, sehingga diperoleh: x<3
Jadi, penyelesaian persamaan diatas adalah: {x € R| x <2 atau x>3}
Contoh Soal 4
(x – 3) (x + 2) > 0
Penyelesaian :
(x – 3) (x + 2) = 0 dengan sifat perkalian nol
X – 3 = 0 atau x + 2 = 0
x1 = 3 x2 = – 2
Contoh Soal 5
9 – 2 = – 3x
Penyelesaian :
9 – 2 = – 3x
9 – 2 = – 3x
9 + 3x – 2 = 0 dengan memfaktorkan
(3x – 1) (3x + 2) = 0
3x – 1 = 0 atau 3x + 2 = 0
3x = 1 3x = -2
x1 = 1/3 x2 = -2/3
Contoh Soal 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari + 2x – 8 ³ 0!
Jawab:
+ 2x – 8 ³ 0
(x + 4) (x – 2) ³ 0
x1 = -4            x2 = 2
Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga positif adalah x £ -4 atau x ³ 2 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan + 2x – 8 ³ 0
Contoh Soal 7
Tentukan himpunan penyelesaian dari – 2x – 24 < 0
Jawab:
– 2x – 24 < 0
(x -6)(x +4) < 0
x1 = 6   x2 = -4
Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan – 2x – 24 < 0

Contoh

x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0


x < -2 atau x > 1